一般微分方程&Bernoulli方程

Author : 张一极
11:35-20201101

齐次:

如果有:

f(\tau x, \tau y)=f(x, y)

则称为齐次函数

其对应的微分方程:

\frac{d y}{d x}=f(x, y)

称为齐次微分方程

$y=ux$ $f'(ux)=u'x+ux'$ :

\frac{d(ux)}{dx}=x(\frac{du}{dx})+u

$f(x,y)$

x(\frac{du}{dx})+u=f(x,ux)=f(1,u)_{微分方程定义}

x\frac{du}{dx}=f(1,u)-u

此时变量分离出去以后,就只剩下u和x的不定变量:

\frac{x}{dx}=\frac{f(1,u)-u}{du}

$u=\frac{y}{x}$

可解,可以说是很精妙了

如下题:

\left(x y-y^{2}\right) d x-\left(x^{2}-2 x y\right) d y=0

$\frac{dy}{dx}=\cdots$ 的形式,可得

\frac{dy}{dx}=\frac{xy-y^2}{x^2-2xy}

化y=ux :

x\frac{d(u)}{dx}=f(1,u)-u

$\frac{xy-y^2}{x^2-2xy}$ 得到:

(\frac{xy-y^2}{x^2-2xy})_{x=1,y=u}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\=\frac{1*u-u^2}{1^2-2*1*u}=\frac{u-u^2}{1-2u}-u~~~~~~~~~~~

=\frac{u-u^2}{1-2u}-u=\frac{u-u^2}{1-2u}-\frac{u(1-2u)}{1-2u}\\ =\frac{u-u^2-u+2u^2}{1-2u}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ =\frac{u^2}{1-2u}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{1-2u} ~~~~~~~~~~\\\frac{x}{dx}=\frac{u^2}{(1-2u)du} \\ \frac{1}{x}dx=\frac{1-2u}{u^2}du~~~~~

同时积分 :

\int_{}^{}\frac{1}{x}dx=\int_{}^{}(\frac{1}{u^2}-\frac{2u}{u^2})du

lnx=-\frac{1}{u}-2ln(u)+C

$u=\frac{y}{x}$

得到隐式通解

lnx+\frac{x}{y}-2ln(\frac{x}{y})-C=0

总结:

$\frac{dy}{dx}$ $y=ux$ $x\frac{du}{dx}=f(1,u)-u$ $u=\frac{y}{x}$ ,即可得到一个隐式通解.

Bernoulli方程

Bernoulli方程形如:

\frac{d y}{d x}+f(x) y=g(x) y^{n}

当n取0和1的时候,即线性方程

$y^n$ ,得到

\frac{1}{y^{n}} \frac{d y}{d x}+f(x) \frac{1}{y^{n-1}}=g(x)\cdots①

$u=\frac{1}{y^{n-1}}$

\frac{du}{dx}=(1-n)\frac{1}{y^n}\frac{dy}{dx}

代入①

\frac{1}{1-n}\frac{d u}{d x}+f(x) u=g(x)

\frac{d u}{d x}+(1-n) f(x) u=(1-n) g(x)

$u=\frac{1}{y^{n-1}}$

解出通解

y \mathrm{d} x=(1+x \ln y) x \mathrm{d} y(y>0)

$\frac{dy}{dx}$ $\frac{dx}{dy}$ $\frac{dy}{dx}$ 结果是:

y=(1+xlny)x\frac{dy}{dx}

$y'+p(x)y=q(x)$

y=x\frac{dy}{dx}+x^2lny\frac{dy}{dx}

发现无法化为x作为自变量的Bernoulli形式

另辟蹊径,尝试将整体分子分母倒置:

\frac{1}{y}=\frac{1}{x}\frac{dx}{dy}+\frac{1}{x^2} \frac{1}{lny}\frac{dx}{dy}

$x'+p(y)x=q(y)$ ,(x与y互换)

\frac{1}{y}x=\frac{dx}{dy}+\frac{1}{xlny}\frac{dx}{dy}

$\frac{dx}{dy}$

\frac{\frac{x}{y}}{1+\frac{1}{xlny}}=\frac{dx}{dy}

整理

\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}-\frac{1}{y} x=\frac{\ln y}{y} x^{2}

对应 Bernoulli方程,其中

p(y)=\frac{1}{y} ~~~~\\q(y)=\frac{lny}{y}

按照伯努利方程的路数

$q(y)$ $x^2$

\frac{dx}{dy}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y}\frac{1}{x}=\frac{lny}{y}

$u=\frac{1}{x^{2-1}}=\frac{1}{x}$

u'=-\frac{1}{x^2}\frac{dx}{dy}

(此时x作为y的函数出现,应符合复合求导法则)

代回

\frac{dx}{dy}=-x^2u' \\\frac{dx}{dy}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y}\frac{1}{x}=\frac{lny}{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\to-u'-\frac{u}{y}=\frac{lny}{y} \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\to u'+\frac{u}{y}=-\frac{lny}{y}

化为一阶微分方程形式,使用通解公式:

对于形如

y^{\prime}+p(x) y=q(x)

其通解为

y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}\left[\int \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x) \mathrm{d} x+C\right]

此处补充通解公式推导过程:
形如
$y^{\prime}+p(x) y=q(x)$
$e^{\int_{}^{}p(x)dx}$
$\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot y^{\prime}+\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x} p(x) \cdot y=\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x)$
取回导数原函数
$\left[\mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot y\right]^{\prime}=\mathrm{e}^{\rho(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x)$
两侧积分
$\begin{array}{l}\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x} \cdot y=\int \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x) \mathrm{d} x+C \\ y=\mathrm{e}^{-\int \rho(x) \mathrm{d} x}\left[\int \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot q(x) \mathrm{d} x+C\right]\end{array}$
以上...

使用通解公式得

u=e^{-\int_{}^{}\frac{1}{y}dy}~[\int_{}^{}e^{\int_{}^{}\frac{1}{y}dy}\cdot-\frac{lny}{y}dy+C] \\=e^{-lny}[\int_{}^{}-lny~dy+C]~~~~~~~~~~~~~~~~ \\=\frac{1}{y}[-(y\cdot lny-\int_{}^{}y~d(lny))+C] \\=\frac{1}{y}[-y\cdot lny+\int_{}^{}y\cdot \frac{1}{y}dy+C]~~~~ \\=\frac{1}{y}[-y(lny-1)+C]~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\=-(lny-1)+\frac{C}{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\=1-lny+\frac{C}{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

$u=\frac{1}{x}$

解:

\frac{1}{x}=1-lny+\frac{C}{y}_{(C为任意常数)}

隐式解(y>0)

End
21:56-20201101
晚安